Reader, спасибо, но Яндекс эту нематематическую муть высветил тоже.
Там, если уж до кучи, есть поэтическая интерпретация:

Выпей Истины вино -
В малом ты найдешь Большое
И тебя найдет само
До роскошности простое...

Точка - это Бесконечность,
Лучик в нем - пространства Вечность
А в улыбке - просто Бог...

И еще один вариант заумно-запредельной трансценденции:

Так что, хорошие времена приходят, но хорошо иметь королевский, божественный путь, который является естественным для статуса своей собственной жизни. "Естественный для своей собственной жизни" - это всеобъемлющий путь, где, как мы недавно говорили, каждая точка - это бесконечность. Вся бесконечность сделана из точек. Все точки обладают бесконечностью. Бесконечность, сделанная из точек. Итак, эта точка, эта бесконечность и эта взаимосвязь. Существует взаимосвязь, точка и бесконечность. И эта взаимосвязь очень намерена. Это неизбежно. Это наиболее изящно. Это неизбежно. И много людей любят говорить, мы также любим говорить: "путь без пути". Для точки, чтобы охватить бесконечность или для бесконечности, чтобы охватить точку, это - путь без пути. Даже притом, что бесконечность - это бесконечность, а точка - это точка, взаимоотношения между ними - это путь без пути. Нет никакого различия, но все же есть громадное различие. Именно поэтому, все возможности находятся там. Все возможности. Именно поэтому, мы говорим: "ВСЕ ВОЗМОЖНОСТИ"!

По сути, с помощью Бога можно произвольно обращаться с любыми сущностями, лишь бы была Его воля.
Я про математическую интерпретацию.

Если разговор вести с т.зр. высшей абстрактной алгебры и теории моделей, то точка - это НЕОПРЕДЕЛЯЕМЫЙ, абстрактный символический математический объект. Математическая модель охватывает класс таких точек и отношения между ними. Точкой может быть любой класс математических объектов - функция, тензор и т.д. Понятия гомоморфизма, изоморфизма и автоморфизма означают, что одну математическую модель можно отображать на другую. В частности, абстрактные символические объекты (точки) могут иметь численное представление (когда точке вводят в соответствие набор чисел - её координат, матрицу и т.д.). Таким образом, у неопределяемого абстрактного символического объекта - точки - может быть внутри-математическая численная интерпретация (а может и не быть, когда всё в векторном виде), может быть и геометрическая, и любая другая. Видимо, можно сопоставить точке, как элементу математической модели, и знак бесконечности, кто же запретит-то.))

Вот это, по-моему, "двойка". Если точка точнее ноль, а ноль не очень точно точка, то пси-функция это реальный физический объект.

Вот не ожидал, что люди такими вещами занимаются! Ан нет, уже придумали. Пусть это лженаука, пока, в первом приближении, это неважно.
Итак, в рамках теории функций пространственного комплексного переменного (ТФКПП), которая, в отличии от общепринятых научных теорий стандартной физики, основана на геометризации пространства, точка имеет структуру! Вот:
Пространственная, а, следовательно, и материальная, структура точки в Числовом поле неисчерпаема. Все известные интервалы от псевдоевклидового до псевдориманова пространства являются частными случаями числового поля. Эти пространства являются подпространствами и составляют единое целое пространства числового поля. Тот факт, что в числовом поле точка не является нульмерным математическим объектом, обуславливает зависимость от углов тех точек, между которыми вычисляется интервал...

Формул много, но самая главная - та, где берется корень из 0 - он не равен нулю. Вот ведь какая там математика!

ну тогда не бесконечность... Вы уж определитесь...

Очень жаль, что мне не удалось получить ответа на вопрос: «чем заканчивается полуинтервал [a,b)?» Было бы гораздо легче продолжать. Но придется…

Если пожелать резюмировать сущность математики в немногих словах, то можно сказать, что математика – это наука о бесконечном.
Г. Вейль. О философии математики


Точка не имеет размерности (имеет 0-размерность). Однако выше мы ее рассматривали, как образованную концом отрезка прямой (1-размерность). Точно также точка может быть образована (2- и 3-объектами): угол, как кусок плоскости, имеет в своей вершине 2-точку, а телесный угол заканчивается 3-точкой (2- и 3- это не размерности точки, а обозначении способа ее образования).

Заполним объем внутри телесного угла: на расстоянии 1 м от вершины разместим некоторое многообразие, которое будет произвольным образом усложняться в сторону оконечности угла, скажем, на порядок при сокращении расстояния до вершины в 2 раза. Таким образом в ближайшей окрестности вершины угла (возле точки) будет наблюдаться максимальная сложность структуры многообразия. Пределом этого увеличения будет бесконечная сложность и плотность элементов многообразия в вершине, то есть в точке.

Два вопроса: можно ли таким образом определенную точку по-прежнему рассматривать как элементарную бесструктурную точку? Чем будет заканчивать 3-угол, если из него изъять, по аналогии с полуинтервалом, саму точку конца?

Двумерным аналогом рассмотренной модели "усложнения к точке" является фрагмент множества Мандельброта (ММ) в области главной щели основной кардиоиды. Несмотря на то, что эти картинки уже я выкладывал, всё же повторю:



Очень хорошо видно, как увеличивается сложность элементов обрамления несущей кардиоиды. Если в самой большой структуре от края иглы отходят 4 ветви, то в следующей 5, затем 6 и т.д. Одновременно увеличивается степень закрученности этих ветвей. Дальнейшее увеличение:



Приближение к точке конца:



Далее:



В самой острой точке, то есть в ожидаемом конце при надлежащем увеличении мы видим следующую картину:



То обстоятельство, что сложность непрерывно возрастала, усугубилось дополнительным эффектом - при приближении к концу кривые, образующие кардиоиду, становятся всё более параллельными. В точке смыкания они становятся строго параллельными друг другу. При этом структура внутреннего пространства сохраняется всегда постоянной - примерно 70% этой трубы занимает незаполненное пространство (область не принадлежащая ММ), а по 15% сверху и снизу - зона ММ с бесконечно закрученными и разрастающимися спиральными образованиями. В любой сколь угодно близкой к точке смыкания области картина совершенно одна и та же - 70% пустого пространства и безмерно плотно закрученные вихри ММ.

В каком-то смысле это может напоминать апорию с Ахиллесом и черепахой, но гораздо более "трагическом" варианте.

Фракталы, конечно, красивые, а Стереографическая проекция чем не иллюстрация?

Агнешка, да, это вполне иллюстрация, как точку можно превратить в бесконечность. Единственно, что используется некоторое преобразование. Это как задача поймать в Африке льва с помощью клетки и конформного трюка. А вот без математических хитростей..

определение точки через угол само по себе не очень имеет смысл, это все равно что сказать "отрезок - это сторона квадрата". также возникают "скрытые размерности"..

lb,  почти 100 лет как говорят - http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_physics/3413/%D0%9A%D0%90%D0%9B%D0%A3%D0%A6%D0%AB
в "элегантной вселенной" грина такая возможность обсуждается как не подтвержденная но и не отколненная...

Black&High, между скрытыми размерностями в смысле Калуцы-Клейна или Калаби-Яу и всего лишь примыканием к точке видимых 2- и 3-размерностей в нашем 3D-пространстве есть, как мне кажется, принципиальная разница. В нашем случае ничего не компактифицировано и искусственно не привнесено. Ничего не скручено само на себя.

∞

(внутри клавиатуры существуют скрытые размерности)

Да, этот ответ меня удовлетворяет. У открытого интервала (континуального множества) нет границы, нет "точки" на конце.

Вопрос про ММ, наверное, сводится к тому же - принадлежит ли точка 0,25+0i, в которой смыкаются ветви кардиоиды, ММ или не принадлежит? Впрочем, это легко проверяется.
Первые значения:
1 0
2 0,25
3 0,3125
4 0,34765625
5 0,370864868
последующие:
1000 0,499007624
1001 0,499008609
1002 0,499009592
Последовательность, кажется, сходится к 0,5, то есть точка 0,25+0i принадлежит ММ. В этой точке и в любой ее ближайшей окрестности нет никаких особенностей и фокусов - кроме направления строго направо, где в сколь угодно малой близости от нее "раскрывается зев бесконечности". Возможно, статус этой точки ничем не отличается от точки конца закрытого интервала.

Charly, в этой сценке вы, очевидно, ходите?