На книжной полке стоит собрание сочинений А.С. Пушкина. Тома располагаются слева направо (в порядке номеров) и стоят вплотную, без зазоров. Все тома с точки зрения геометрии идентичны - состоят из картонных обложек толщиной 2 мм и бумажных страниц общей толщиной 20 мм (ну и переплета). На эти тома напал книжный червь (говорят есть такие, хотя сам встречал только иносказательных), который прогрыз часть книг, начиная с первой страницы 1-го тома и кончая последней 2-го тома. Червь двигался перпендикулярно плоскостям страниц и обложек без зигзагов. Вопрос. Сколько миллиметров он прогрыз?
Кто смелый?
Задачка про числа
Скрытый текст |
|---|
| Двум математикам сообщили, что есть 2 числа, про которых известно, что они сами, их сумма и произведение лежат в пределах от 2 до 100. Математику А сообщили произведение этих чисел, а математику В - их сумму. Спустя какое-то время А звонит В и говорит, что он не может найти числа. В отвечает ему: "я знаю". На это А говорит: "тогда я знаю эти числа". В ответ В говорит: "тогда и я знаю". Найти эти числа. Это первый вариант задачи. Во втором варианте первая реплика В звучит так: «и я не знаю эти числа; и знаю, что ты их не знаешь». Решение. Поскольку последний ответ В начал со слова «тогда», мы (но не А при принятии своего выбора) знаем, что он ответ заранее не знал.Это означает, что сумма не может быть больше 36. Сначала найдем претендентов на сумму чисел, отвечающих условиям, что А не знает ответ, а В знает, что А не знает. Каждой сумме, имеющейся у В, может отвечать несколько вариантов возможных пар. Каждой из этих пар по условиям должно отвечать произведение у А, имеющее более одной пары возможных сомножителей. Кроме того, среди этих сомножителей не одна из этих пар не может содержать два простых числа. Это сразу накладывает ограничения на сумму: при переборе возможных пар, отвечающих каждой сумме, в паре с 2 и 3 не должно находиться простое число, т.к. и 2 и 3 – сами простые числа. Кроме того, если простые числа окажутся в паре с 5 или 7, такие суммы тоже надо исключить. Этим условиям отвечают 9 чисел: 36, 35, 30, 29, 28, 27, 23, 17, 11. Дальше, путем исключения сумм, не отвечающим другим условиям задачи, остаются 3 возможных претендента на правильные ответы. Разберем их по очереди, пока не разделяя на два варианта постановки задачи. Сумме 28 у В отвечают 3 возможные пары: (2, 26); (3, 25) и (4, 24). Паре (2, 26) отвечало бы у А произведение 52 = 2*26 = 4*13. Из обеих этих пар А выбрать ни одну пару не сможет, т.к. им отвечают произведения из приведенного списка, которые дают более одного ответа. Значит, если бы такое произведение 52 было бы у А, он бы не смог сказать, что ответ знает. Значит, пара (2, 26) отпадает. Аналогичная история с парой (4, 24). Этой паре отвечает у А произведение 96 = 4*24 = 3*32. Обеим парам (4, 24); (3, 32) также отвечают суммы из списка, не позволяющие выбрать одну из этих пар – А не смог бы сказать, что он ответ знает. Пара (3, 25) отвечает произведению 75 = 3*25 = 5*15. Паре (5, 15) отвечает сумма 20 у В, не попадающая в список. Это означает, что отвечающая ей одна из пар (3, 17) дает однозначный ответ, который не позволил бы В утверждать, что А ответ не знает. То есть, только для этого произведения есть единственный ответ (3, 25). Этот ответ отвечает обеим постановкам задачи. Рассмотрим первую постановку задачи. И рассмотрим сумму 27. Ей отвечают пары (2, 25), (3, 24) и (4, 23). Паре (3, 24) отвечает произведение 72 = 3*24 = 2*36. Мог ли А отбросить пару (2, 36)? Она не отвечает условию, что В заранее ответ не знал. Но у А не было информации об этом! Поэтому из этих двух пар он ни одну выбросить не мог бы и не мог бы ответить, что ответ знает. Та же ситуация с парой (4, 23). Ей отвечает произведение 92 = 4*23 = 2*46. А между ними также выбрать не может и не может сказать, что он знает ответ. Иная ситуация с парой (2*25). Ей отвечает произведение 50 = 2*25 = 5*10. Паре (5, 10) отвечает сумма 15, которой нет в разрешенном списке, которая дает уникальную пару (2, 13), не позволяющую В утверждать, что А ответ не может знать. То есть, только произведение 50 порождает пару (2, 25), отвечающую всем условиям задачи. Совершенно аналогичные рассуждения для пары (2, 27) позволяют сделать заключение, что для данной постановке задачи она является ответом. Для второй постановки задачи, где В сказал, что он тоже ответ не знает, обе эти пары не удовлетворяют условиям задачи, т.к. пары (2, 36) и (2, 46) А отбросил бы, как не удовлетворяющие условию, что В ответ не знал, и А бы это сделал, т.к. В ему об этом сообщил. И все три пары (2, 25); (3, 24) и (4, 23) эквивалентны, и В не мог бы сказать, чтознает ответ. Итог: для обеих постановок задачи ответ (3, 25); для первой еще (2, 25) и (2, 27). |
.