Чайник писал мне по другому поводу. Не обольщайтесь.
Не хотите пояснить ваш расчет второй космической , пояснив в формуле , что это значит? По вполне понятной причине. Вам придется записать , что такое гравитационная потенциальная энергия.
Мне тоже уже это невыносимо. Скользкий , как угорь.

Отмечу одно заблуждение, которое АИ все время вгоняет в ступор. В чем сходство и различие двух функций: U1 = mgh и U2 = -GMm/R? АИ утверждает, что первая функция - положительная, а вторая - отрицательная. И говорит, что дело не в постоянной составляющей, а в знаке, с каким функция входит в формулу.

Давайте посмотрим немного по другому. В чем сходство? Обе функции монотонно возрастают. В чем различие? Первая растет линейно с координатой, вторая - нет. Если дело не в постоянной составляющей, как соглашается АИ (которая у них разная), то добавив постоянную ко второй функции, можно сделать ее еще более похожей на первую. Если рассматривать малые изменения координаты, то различие пропадает совсем - вторая функция становится почти линейной. Так при чем здесь знак в формуле, который, якобы, с другим минусом превращается в плюс? Как говорится, полный аншлаг.

Ого , а он , оказывается, продолжает.

Меня в ступор ничего не вгоняет. Это вы размечтались.

С чего это гравитационный потенциал  будет расти до бесконечности? Он будет расти , но расти до нуля.

Чтобы Gierus было понятнее , проведем аналогию с шаром, равномерно заряженным электрическим зарядом ( пусть положительным). Это часто мы все делали , поэтому гораздо привычнее .Что , разве потенциал возрастает с радиусом? Нет , с радиусом линейно будет нарастать напряженность поля , т.е. силовая характеристика поля.  А после прохождения границы , напряженность будет убывать пропорционально квадрату расстояния , но на границе функция сшивается. Теперь перейдем к потенциалу. Я напомню , что если бы это была заряженная пустая сфера (оболочка) , то от центра сферы до поверхности потенциал был бы постоянным , а при переходе через границу убывал бы пропорционально расстоянию. А теперь сообразите , что произойдет , если это не заряженная сферическая поверхность , а равномерно заряженный по объему шар. Вы понимаете , что потенциал в центре окажется больше , чем на границе? Следовательно , в такой сфере потенциал будет непрерывно уменьшаться , сшиваясь на границе , а вовсе не увеличиваться , как это утверждает Gierus. Я ,когда листал литературу, натыкался , кажется , на такие слова , что гравитационный потенциал однородного по плотности шара в центре шара больше в полтора раза , чем на границе. По модулю. И непрерывно уменьшается с увеличением расстояния. Поэтому вызывает большое сомнение объяснение Gierus насчет потенциальной энергии. Она действительно непрерывно возрастает при стремлении к бесконечности , но заметьте , возрастает- то до нуля.  ( Но уменьшается по модулю). Что следует и из физического смысла – гравитационное взаимодействие масс , разнесенных на бесконечно большое расстояние , будет равно нулю. Внутри шара он , видимо , перепутал силу с энергией , а за пределами шара вообще сделал что-то непонятное. Ну а то , что константы с обеих сторон взаимно уничтожатся  ,то это и так ясно , воюете с вами же выдуманной проблемой.

Чайника-то чего приплели себе в союзники , вы что , плохо прочитали то , что он написал? Перечитайте повнимательнее.

mgh - это разность потенциальных энергий , константы , естественно , уже вычтены.  -GMm/R - это потенциальная энергия отсчитанная от естественного уровня - бесконечности.
Ну и ерунду нагородил . Зачем к mgh добавлять константу , если это уже разность потенциальных энергий ? Константы уже вычтены.   -GMm/R  - отсчитывается от нуля , а если эта функция подставлена в закон сохранения энергии , то такие константы будут в обеих частях равенства , и взаимно вычтутся.   Действительно  , полный аншлаг.  Пора бы ему признать , что он неправ , Ан нет , перешел на другую задачу. А прорубь уже забыл. Обычная тактика .

Это я не очень ловко выразился. Расти до бесконечности будет, ес-но не потенциал, а радиус. А каков будет потенциал на бесконечности я написал. А Вы, по обыкновению, не смогли понять.

На счет проруби. Что толку с Вами дискутировать, когда Вы не отвечаете на вопросы? Как и в этой теме - заявили, что моя формула давления вращающейся жидкости неправильная, а свою не привели и не указали, в чем неправильность. Так и с прорубью. "Объясняли" эффект рождением игл, но на вопрос откуда они взялись при плюсовой температуре воздух, так и не ответили. Мне так не интересно. Я свое объяснение дал, качественно обосновал. А Вы - нет. И вообще... Я утомился Вам что-либо объяснять. Давайте завершим. Да и дел полно.

Ну и чем здесь помогла полная энергия (кинетическая + потенциальная)? Если все равно приходится вводить темную энергию и пр.

Хороший вопрос.
Могу задать встречный: зачем было изобретать поезда, автомобили, самолеты, если люди продолжают ездить на велосипедах?

Вот когда в законе сохранения энергии с обеих сторон знака равенства стоят начальная и конечная потенциальные энергии , они- то и образуют разность , имеющую физический смысл. Я жду уравнение закона сохранения энергии , которое вы упорно писать не желаете. С началом координат в  центре Земли. Я хочу посмотреть , что у вас стоит в левой части равенства , а что в правой.

Ход ваших рассуждений понятен.
Но у вас A = U( R ) - U(R0) . Эта ваша запись означает , что работа силы тяготения равна изменению потенциальной энергии.  A=  U( R ) -  U(R0) .    А работа силы тяготения на самом деле равна изменению потенциальной энергии , взятой с обратным знаком    A=  U( R0 ) -  U®.  
Тогда закон сохранения энергии в вашем исполнении будет выглядеть так:
   mV^2/2 +GMm/R0=GMm/R т.к. при стремлении R к бесконечности GMm/R стремится к нулю , то у вас получается   mV^2/2 +GMm/R0=0.  Неувязочка. Квадрат скорости получается отрицательным.
Как будете объяснять?

У Gierusа дикое нагромождение ошибок
А как определяет работу?Да кто ж вас так учил?  Эти ошибки образования тянутся, видно , еще из школы.Это в седьмом классе говорят , что работа равна A = FS , да и то приговаривают , что это для случая , когда направление силы совпадает с направлением перемещения. А если противоположны , то A = - FS , а если взаимно перпендикулярны , то A = 0. А в девятом классе уже  A = FScosα . Понятие потенциальной силы как иначе вводить?  Вы осознаете , что неправильно взяли интеграл? Направление силы тяготения противоположно направлению перемещения. cosα = - 1 . Имейте смелость и честность признать свою неправоту. И будем заканчивать. Как хорошо , что я вынудил вас подробно написать вывод второй космической скорости, а вы не отделались обычным высказыванием , что это элементарно.

Ну вот , теперь все стало на свои места. Меня интересует именно суть обсуждаемого. Вчера , когда оппонент представил свой вывод  второй космической скорости, я уже собирался было признать , что я ошибался , нагромождение буковок с усталости мне показалось правильным и я уже начал набирать соответствующий текст. Но вдруг взяло сомнение , и я стал повторять вычисления , записывая в привычных символах , а не в компьютерных. Надо сказать , что с компьютером я не на "ты" ,познакомился с ним в очень зрелом возрасте , умею делать только то , что надо для работы ,я не умею даже картинки вставлять в тексты форума , хотя это наверное просто. Для серьезного обучения нет времени , но я не стесняюсь спрашивать у своих учеников , не скрывая , что я  в этом мало понимаю. Я никогда не стесняюсь признавать , что я что-то не знаю . Так меня учили в школе , так меня учили в институте , и я горжусь , что являюсь скромным учеником знаменитой школы физики Ленинградского политехнического института.
Не приписывайте другим свои грехи. Если скатывался на такое , то только в ответ на ваши выпады.  И я вчера от усталости признал бы вашу правоту , но вовремя заставил себя проделать все вычисления и обнаружил нагромождение ошибок , причем школьного уровня.
Пытаетесь выскользнуть , как всегда. Истина вас не интересует. Ваши ошибки в этом выводе  -это именно то , о чем шел спор. Причем они настолько явные , что я ожидал , что вы их признаете. Что ж в этом позорного? Я не раз это делал и со своими учениками. Сделаешь ляп (иногда даже сознательно) , они радуются , что обнаружили ошибку ,  я говорю "молодцы" , вы правы , я ошибся. И они не перестают меня уважать. Подвожу итог спорам с вами:  
1. В отношении потенциальной энергии и ее знака , величины mgh в трех ипостасях ( работа сторонней силы ,  изменение потенциальной энергии , работа силы тяжести , взятая с обратным знаком) ,вашего "открытия"  , вывода второй космической скорости- вы оказались неправы , но признавать это не хотите , но это не ново , вы всегда так делали.
2. В отношении льда в проруби - я объяснил наблюдаемые не мной эффекты , основываясь на законах физики , на мой взгляд-логично и понятно. То ,что вы не захотели понять , связано скорее всего с тем , что вы аргументы оппонентов не читаете. А может , опять пробелы в знании физики.
3. Этот спор отнял у меня очень много времени , пришлось перелопатить много источников , прямо наваждение какое-то. Но успел довольно много , но меньше , чем собирался. Но я все успею - дожди мне в помощь.
4.Если опять меня заденете , наверное дам сдачи , хотя постараюсь больше не поддаваться на провокации.

Косад. Некоторая аналогия есть , и связана она с уникальными свойствами воды в диапазоне температур от нуля градусов до плюс четырех градусов. Сурдин объясняет появление подтаявших кругов на реке тем , что из-за наличия течения в ямах образуются водовороты , в центре которых более плотная теплая вода (до плюс четырех градусов) выбрасывается вверх , обеспечивая подтаивание льда. В рассматриваемой нами задаче водоворотов не было. Я в самом начале объяснил тот факт , что замерзший за ночь лед не таял при положительной температуре воздуха днем  , тем , что тоже образовывались циркуляционные потоки ( конвекция) , но направлены они были так , что более плотная , относительно теплая вода ( около плюс четырех градусов) опускалась вниз , а подо льдом оставалась менее плотная вода нулевой температуры , не позволяющая льду таять. Это объяснение мой оппонент начисто отвергал , либо даже не читая , либо попросту не понимая , что следовало из его реплик.

Думаю , Вы правы

Девиз задачи: "я оглянулся посмотреть, не оглянулась ли она, чтоб посмотреть не оглянулся ли я"

А я считаю что ДА. Поясняю. Уверенность математиков основывается на том , что количество вариантов предельно мало, т.к. и сумма и произведения малы. Математику В дали сумму 7 , а математику В дали произведение 12. Для суммы варианты 3 и 4 , или 2 и 5., и В не знает , который выбрать. А для математика А варианты 3 и 4 , или 2 и 6. Математик А звонит математику В , и говорит , что он не может выбрать. , но математик В тут же соображает , что у А тоже два варианта , и только один из них пересекается с одним из его вариантов , Но это не может быть произведение 10 , т.к. его можно получить только из сочетания 2 и 5 , и тогда бы А точно угадал бы ответ . Значит , годится только 3 и 4.