"Даже если вы знаете точное правило, по которому работает система, вы не можете понять, как эта система работает без выполнения каждого шага вычисления". Речь о том, что жизнь - в каких-то частностях, но возможно и в целом - определяют не простые законы, формулы, графики, а рекурсии. Из которых я знаю две самые вдохновляющие:
С которых и хотелось бы начать. Возможно, удастся найти другие примеры.
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 10.08.2006
24.02.2021 09:47:55
Хотя, справедливости ради, исторически первым появлением такого механизма можно назвать игру «» (англ. Conway's Game of Life) — клеточный автомат, придуманный английским математиком Джоном Конвеем в 1970 году. Думаю, большинство знают этот алгоритм: - в пустой (мёртвой) клетке, рядом с которой ровно три живые клетки, зарождается жизнь; - если у живой клетки есть две или три живые соседки, то эта клетка продолжает жить; в противном случае, если соседей меньше двух или больше трёх, клетка умирает («от одиночества» или «от перенаселённости»). Действие происходит на размеченной на клетки поверхности — безграничной или ограниченной.
Конвей первоначально предположил, что никакая начальная комбинация не может привести к неограниченному размножению и предложил премию в 50 долларов тому, кто докажет или опровергнет эту гипотезу. Приз был получен группой из Массачусетского технологического института, придумавшей неподвижную повторяющуюся фигуру, которая периодически создавала движущиеся «планеры»:
В Жизнь можно поиграть онлайн - или или много где еще.
Самое главное в этом простейшем механизме - очень простые и понятные правила рождения или умирания клеток и вполне непредсказуемое развитие начальной комбинации клеток. Вот одна из очень "живых" картинок:
Кстати, игровой поле уже называлось Вселенная.
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 10.08.2006
24.02.2021 18:44:24
Для рассказа о ММ - множестве Мандельброта я воспользуюсь старой темой, , откуда и скопирую пару постов:
Что же такое множество Мандельброта? Это множество точек С на комплексной плоскости, для которых последовательность Хn+1 = X²n + C не расходится. Внутри фигуры (основной черной массы кардиоиды на первой картинке) траектория итераций представляет собой звездообразные фигуры слева от центра (0,0) и спиралевидные фигуры – справа от центра. Вдали от основной фигуры траектория быстро уходит в бесконечность. А на самой границе требуется очень большое количество итераций, чтобы понять судьбу траектории. Самое сложное, что есть в данном множестве – это как раз и есть граница раздела между расходящимися и не расходящимися траекториями. Далее пара рисунков этого множества - целиком и большая картинка одного из красивых участков.
Самый главный из непостижимых вопрос данной темы следующий: почему граница между множествами расходящихся и не расходящихся траекторий в итерациях Хn+1 = X²n + C образует такую сложную и красивую фигуру, как множество Мандельброта. По некоторым свидетельствам (кажется, того же Хаббарда), ММ - самый сложный математический объект. Вот почему бы не быть границе раздела всего лишь окружностью? Ан нет... Ни в одном из математических или философских трактатах на тему ММ нет осмысления причины возникновения сложности, фрактальности и красоты.
Да, красота возникающих картин поразительна. Их математическая выверенность не допускает мысли о несовершенстве изгибов, точности сопряжения дуг, нарушения интервалов в витках спиралей. Это понятно. Непонятна лишь столь изощренная изобретательность и грандиозность всеобщего замысла.
В книге «Красота бесконечного» Дэвид Харт дает дефиниции понятию красоты, среди которых самый первый пункт звучит: красота объективна. Обоснования данной пропозиции православным богословом не могут быть всецело приемлемы даже с философской точки зрения, однако данная констатация очень красноречива. «В прекрасном есть некая переполняющая данность, и обнаруживается оно в изумлении, во встрече с чем-то неожиданным, случайным, по сути неописуемым; оно опознается лишь в момент отклика на него, с позиции человека, к которому оно уже обращено и который может теперь лишь откликнуться».
Странен в его устах следующий тезис: «Красота есть истинная форма расстояния». А также четвертый: «Красота пересекает границы».
Следующие видеосюжеты показывают погружение в глубину ММ (а первый - ровно в том месте, которое изображено на нескольких картинах при входе в Кладезь):
(к сожалению, видео не вставляются напрямую для воспроизведенеия).
Красиво, но не понятно. Где в этой формуле цвета прячутся?
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 10.08.2006
24.02.2021 21:08:58
Gierus, в той теме, которую я цитировал, об этом спрашивал Цейтлин:
meybe 07 отправлено: 18-04-2010 22:24:06 | To lb Вот кабы и на цвета алгоритм был аналитический, тады...
lb Модератор licq:3079 отправлено: 18-04-2010 22:56:38 | To meybe 07 Цвета строятся строго аналитически. Раскраска соответствует эквипотенциальным линиям, а потенциал падает от границы множества до бесконечности. В 1983 г. А.Дауди и Дж.Хаббард доказали удивительный математический факт, что эквипотенциальные линии точно отражают динамику критической точки х = 0, то есть являются линиями одинакового времени убегания в бесконечность начальной точки х0 = 0.
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 10.08.2006
25.02.2021 11:45:48
Более аккуарно и понятно про цвета:
Строго математически, изображения множеств Мандельброта должно быть чёрно-белыми. Точка либо попадает внутрь множества, либо нет. Несмотря на это, с помощью компьютера мы можем построить и цветные изображения. Самым распространённым способом является раскрашивание точек снаружи множества в цвет, соответствующий количеству итераций, за которое точка уходит в «бесконечность» или, с точки зрения программы, на определённое расстояние от нуля.
Порядок определения, попадает ли точка z0 внутрь множества (традиционно закрашиваемого чёрным цветом) или нет (закрашивается цветом, зависящим от скорости движения к бесконечности) следующий: на каждой итерации для zn=xn+yn·i вычисляется значение модуля , которое затем сравнивается с «границей бесконечности» (обычно берётся значение, равное 2). Здесь важно обратить внимание, что уже на данном этапе можно ввести определённую оптимизацию вычислений, если проверять не , а , что значительно снизит время расчётов.
Таким образом, если |zn|² ≤ 4 при любом числе итераций (на практике — при всех вычисленных итерациях), то цвет точки чёрный, в противном случае он зависит от последнего значения n, при котором |zn|² ≤ 4. Значение n, фактически, обозначает скорость движения zn в бесконечность, и может быть просто индексом в таблице цветов, или использоваться как параметр в более сложном алгоритме.
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 10.08.2006
25.02.2021 12:03:24
И еще из прошлого: 13-02-2012 Неожиданно возникла переписка с Павловым Дмитрием Геннадиевичем, руководителем НИИ Гиперкомплексных систем в геометрии и физике, г.Фрязино. Разговор зашел о фракталах и привел к крайне интересным проблемам.
Мой вопрос звучал так:
Фоном вашего сайта polynumbers.ru служит узор из множества Мандельброта (или Жюлиа, судя по кажущейся разобщенности фрагментов). Увы, ничего не понимаю в гиперкомплексных числах, а вот в сие таинство по мере сил пытался вникнуть. Пока получается, что это постижение невозможно. Нигде не нашел осмысления возникающей до бесконечности сложности вкупе с красотой. Такова магия и тайна комплексных чисел? Что-то в этом почти божественное. Если вдруг у вас есть к этому подходы, материалы - буду крайне признателен за ссылки.
Ответ Д.Г.Павлова:
Что касается фракталов, вернее их алгебраической разновидности, то я также ими давно и искренне восхищаюсь. Мне кажется, я и мои коллеги знаем секрет, почему на комплексных числах фракталы получаются такие красивые и содержательные, а при использовании иных объектов - далеко не такие интересные. Дело, похоже, в наличии или отсутствии при построении фрактала сверхбогатых групп нелинейных симметрий. На комплексной плоскости как известно, группа конформных преобразований (ее нелинейных непрерывных симметрий) - бесконечнопараметрическая, а начиная с трехмерного евклидова пространства или четырехмерного псевдоевклидова - конечномерная, то есть неимоверно беднее. А как было бы интересно перенести красоту и содержательность фракталов комплексной плоскости на четырехмерное пространство-время! Уверен, что в этом случае получались бы иногда фракталы очень похожие на наш реальный мир, если их развернуть в трех пространственных и одном временнОм измерении. Собственно, мы этим направлением стараемся также заниматься. Математическим основанием тут является то обстоятельство, что не только комплексная плоскость имеет бесконечную группу конформных симметрий, но и плоскость т.н. двойных чисел (гиперболических аналогов комплексных чисел) и соответствующая им геометрия псевдоевклидовой плоскости, то есть двумерного пространства-времени Минковского! Вот мы и тратим значительные усилия на построение аналогов множеств Жюлиа и Мандельброта на множестве двойных чисел. Кое что стало получаться и это вселяет оптимизм. Ведь комплексные числа не расширяются на трех и четырехмерные гиперкомплексные числа с сохранением всех свойств первых, включая бесконечность группы конформных симметрий. А вот двойные числа - запросто расширяются на три и четыре измерения. Только к сожалению (или к счастью) эта геометрия уже не евклидова и даже не псевдоевклидова, а финслерова, а с нею сейчас практически никто не умеет адекватно работать. Но мы учимся и, надеюсь, скоро научимся в достаточной степени, что бы строить на этой геометрии, и физику, и четырехмерные алгебраические фракталы, имеющие физическую интерпретацию.
Если хотите, гляньте страницу "журнал" сайта polynumbers.ru Там в номерах 11 и 12 есть три статьи на тему фракталов на двойных числах. К сожалению к тройным и четверным гиперкомплексным числам все никак не хватает, ни времени, ни сил вплотную перебраться, но как ни будь обязательно ими займемся. Почему это нужно? Если мои ожидания оправдаются и четырехмерные алгебраические фракталы на четверных числах действительно окажутся физически интерпретируемыми, то техника математического эксперимента, заменяющего иногда натурный эксперимент, сделает сильный рывок вперед. Вместо того, что бы строить мощные телескопы или космические аппараты (я, кстати, по образованияю специалист по ракетным двигателям, заканчивал в 1982 году МВТУ им.Баумана) можно на экране компютера моделировать, и столкновения галактик, и поведение квазаров, и взрывы сверхновых. И даже если это будет не в точности как в реальном мире, очень многие моменты могут оказаться вполне достоверными. Я, во всяком случае, на это надеюсь.
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 10.08.2006
25.02.2021 12:22:54
А теперь, наконец, про Стивена Вольфрама и его проект The Wolfram Physics Project.
Стивен Вольфрам (англ. Stephen Wolfram, род. 29 августа 1959, Лондон) — британский физик, математик, программист, писатель. Разработчик системы компьютерной алгебры Mathematica и системы извлечения знаний WolframAlpha.
Вундеркинд, в детстве его часто называли «маленьким Эйнштейном». Образование получил в Итонском колледже. В возрасте 15 лет опубликовал статью о физике элементарных частиц, в 17 лет поступил в Оксфордский университет, где в колледже Святого Джона начинает исследования в физике. Через год опубликовал свою широко процитированную работу по производству тяжелых кварков. С 1978 года свои исследования Вольфрам продолжает в Калифорнийском технологическом институте. Здесь он впервые рассматривает связь между космологией и физикой элементарных частиц, а позже занимается теорией сильных взаимодействий и теорией клеточных автоматов. Вот и связь с игорой "Жизнь".
Исповедует принцип "Самый верный признак качества научной модели — простые законы объясняют сложные эффекты". И вот ему приходит в голову такая идея, как преобразование графа с помощью какого-нибудь простого правила. И вдруг оказалось, что из такой идеи, из такого правила может возникнуть сложность, сравнимая со Вселенной.
Итак.
Предположим, у нас есть множество отношений: {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {2, 4}}, которое в виде графа выглядит так:
Так что же мы будем делать с этими графами? Мы будем применять к ним очень простое правило много много раз. Вот пример подобного правила: {{x, y}, {x, z}} → {{x, z}, {x, w}, {y, w}, {z, w}} Это правило гласит, что мы должны взять два отношения из множества и проверить их на соответствие образцу {{x,y},{x,z}}. Если есть совпадение, то мы заменяем эти два отношения четырьмя отношениями {{x, z}, {x, w}, {y, w}, {z, w}} (где w — это новый элемент множества).
Мы можем представить эту трансформацию как операцию над графами:
Что будет, если мы продолжим применять это правило к нашему множеству рекурсивно? Результат будет выглядеть так:
Сделаем это еще пару раз, получим еще более впечатляющую картину:
Что произошло? У нас было очень простое правило. Но рекурсивное применение этого правила породило структуру, выглядящую очень сложным образом. Здравый смысл подсказывает нам, что так не бывает. Но в действительности такое спонтанное зарождение сложности встречается повсеместо при применении простейших правил к простейшим структурам.
Правила могут быть разными, и разными будут получаться структуры:
Материал на русском языке, включающий развитие этих идей вплоть до физических теорий (квантовая механика, СТО...) и построения вселенных .
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 10.08.2006
25.02.2021 12:47:14
Очень симпатичная лекция про фракталы: (с 11:35 по 12:15 идет речь о , еще одном механизме "построения реальности")
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 10.08.2006
26.02.2021 09:13:23
Возвратимся к Вольфраму. Вопрос о пространстве -
Что такое пространство?
Давайте взглянем на одно простое правило из нашей громадной коллекции: {{x, y, y}, {z, x, u}} → {{y, v, y}, {y, z, v}, {u, v, v}}
Вот что оно порождает:
А через еще несколько итераций получается вот это:
Получившаяся структура сильно напоминает очень простой «кусочек пространства». Другое правило может привести к такой форме:
И вот Вольфрам пишет: И я думаю, что именно так устроено все пространство в нашей Вселенной. В общем-то это куча дискретных, абстрактных отношений между абстрактными точками. Но при взгляде с определенного масштаба мы видим, что паттерн этих отношений делает эту структуру похожей на привычное нам непрерывное пространство. Это похоже на наше представление о воде: по сути вода — это куча дискретных молекул, но когда мы смотрим на нее с большого масштаба, она кажется нам непрерывной жидкостью.
Он учится и научивается определять размерность этого пространства, его кривизну. У его пространства есть естественное время - шаги применения правил преобразования. Затем появляется граф причинно-следственных связей. И эта вот причинно-следственная связь самым естественными образом оказывается источником построения СТО!
Цитата
Если вы что-то понимаете в специальной теории относительности, то вы узнаете многое из этого. То, что мы называем слоениями, соответствует «системам отсчета» теории относительности. И наши слоения, представляющие движение, являются стандартными инерциальными системами отсчета специальной теории относительности.
А затем...
Цитата
Итак, из этих формул мы можем видеть, что, просто исследуя причинно-следственные графы (и, да, с учетом причинно-следственной инвариантности и целого ряда подробных математических ограничений, которые мы здесь не обсуждаем), нам удалось вывести основной (и известный) факт о соотношении энергии и массы:
E = mc^2
В стандартных теориях физики это отношение выглядит скорее аксиомой, чем чем-то, что можно вывести. Но в нашей модели это не так.
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 17.11.2002
26.02.2021 10:37:52
ili...ili, Забавно. Но со Стивеном Вольфрамом я немного знаком. Мы с ним одно время переписывались. Я пользовался его программой Математика и нашел в ней серьезную ошибку. Об этом ему написал. Он очень меня благодарил, ошибку исправил и выслал дистрибутив исправленной программы. А потом пару раз еще высылал обновленные версии. Впоследствии я перестал программой пользоваться, и общение сошло на нет.
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 10.08.2006
26.02.2021 11:00:34
Действительно, "забавно". Еще забавнее будет, если мощности его новой идеи окажется достаточно, чтобы и впрямь смоделировать Вселенную целиком. Пока он настойчиво (и нахально) к этому движется.
А в целом эти рекуррентные модели представляют собой серьезную альтернативу "матрице" (в которой мы, по мысли некоторых физиков, и живем). Или модели голографической вселенной Талбота. Все эти измышления как бы за пределами серьезной науки, а с другой стороны являют собой совершенно серьезные научные разработки. Даже более того, концептуальные.
Меня весьма занимает отличие ММ от моделей Вольфрама. Вот в каком разрезе: Миры Вольфрама строятся по искусственной схеме, а ММ (множество Мандельброта) кажется сконструированным раз и навсегда, оно вроде как "уже существует". Оно задано и оно есть. Его, в отличие от вольфрамовского, не нужно каждый раз строить, восстанавливать... и вот тут возникает запинка - но ведь каждый раз для визуализации построение, расчет необходимы. Насколько в "объективной реальности" существует ММ? Вопрос, фактически, о платоновых идеях, но доведенный, в каком-то смысле, до предельной остроты. Насколько объективно существует "треугольник" (идея треугольника)? Круг? Синусоида? Лемниската Бернулли? Спираль Корню? Наконец, ММ? Возможно, всё это ведет к "материалистическим основаниям" идеализма.
И кроме этого философического вопроса остается первый, про фрактал Мандельброта, на который цитированный выше Д.Г.Павлов, на мой взгляд, не ответил: как объяснить совершенство, сложность, невероятную красоту и бесконечную глубину ММ? Почему столь простая формула (алгоритм) порождает целую вселенную?
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 10.08.2006
02.03.2021 07:18:13
Из книги Ласло Мерё «Логика чудес» неожиданно всплыл ещё один механизм образования сложности, возможно, ответственный за социализацию и даже эволюцию. Это слабые связи безмасштабных сетей. Ласло Барабаши и Река Альберт тут приложили руку (странно, опять Ласло!). Но об этом немного позже.
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 10.08.2006
06.03.2021 23:22:46
В той давнишней теме про фракталы Чайник, с усмешкой, пожалуй, задавал вопрос: «А каковы практические применения множества Мандельброта?». Я в ответ приводил разные ссылки, которые вели на описание каких-то там полезных применений. А по сути-то все они были несерьёзны. И вот по прошествии десяти лет, с учётом последних достижений науки Ласло Мерё в своей книге пишет ответ на этот вопрос: «Масштабная инвариантность пока что успешно применяется только в прикладном искусстве — например, в компьютерной графике. Никто не придумал, как заставить этот принцип работать в крупных технологических или промышленных масштабах».
Я же добавлю: и объяснить причину возникновения чудесно упорядоченного и бесконечно красивого мира тоже никто не может. И пока не сможет, не появятся и истинные шедевры применения этой «технологии». А это, скорее всего, будет весьма нескоро.
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 10.08.2006
01.02.2022 12:13:34
Чудесный фрактальный 3D-фильм:
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 19.02.2010
05.02.2022 10:48:08
Если взять отдельные кадры из этих превращений ,то ни один художник -авангардист не может создать картины такой силы. Был бы я художником - копиистом, мог бы озолотиться.
Изменено: - 05.02.2022 10:48:27
Пользователь
Сообщений: Регистрация: 05.07.2007
24.07.2022 08:47:14
Все случаи системной склеродермии связаны с фетальным микрохимеризмом. В организме каждого из нас, помимо клеток мамы, живут также клетки бабушки по материнской линии, и прабабушки по материнской линии, во все уменьшающемся количестве. Мир полон чудес.
, которое затем сравнивается с «границей бесконечности» (обычно берётся значение, равное 2). Здесь важно обратить внимание, что уже на данном этапе можно ввести определённую оптимизацию вычислений, если проверять не 
, а 
, что значительно снизит время расчётов.
